Mestre Panda

Dificuldade: díficil

No telhado de uma casa, existe um painel solar incorporado numa peça metálica. O painel e a peça, em conjunto, têm a forma de um prisma triangular reto cujas bases são triângulos retângulos.

Na figura de cima, está representado o prisma triangular reto $[A B C D E F]$, modelo da peça metálica. Os segmentos de reta $[E F]$ e $[A B]$ são perpendiculares aos segmentos de reta $[D F]$ e $[B C]$, respetivamente.

A figura não está desenhada à escala.

Na figura de baixo, está representada uma das bases do prisma triangular reto $[A B C D E F]$, modelo da peça metálica.

A peça metálica tem uma haste de reforço, representada na figura por $[X Y]$.

De acordo com a figura:

o ponto $X$ pertence a $[A B]$ e o ponto $Y$ pertence a $[A C]$;
as retas $X Y$ e $A B$ são perpendiculares;
$\overline{A B}=78 \mathrm{~cm}, \overline{B C}=58,5 \mathrm{~cm}$ e $\overline{A X}=52 \mathrm{~cm}$.

Determina o comprimento da haste, ou seja, $\overline{X Y}$.

Apresenta o resultado em centímetros. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2019, 1ª Fase - Grupo Exercício 1028

Resumos

Resolução do Exercício:

Como os triângulos $[A B C]$ e $[A X Y]$ têm ambos um ângulo reto e o ângulo de vértice em $A$ é comum aos dois, pelo critério AA, os triângulos são semelhantes.

Assim, temos que o comprimento da haste, ou seja, $\overline{X Y}$, em centímetros, é:

$$\frac{\overline{X Y}}{\overline{B C}}=\frac{\overline{A X}}{\overline{A B}} \Leftrightarrow \frac{\overline{X Y}}{58,5}=\frac{52}{78} \Leftrightarrow \overline{X Y}=\frac{52 \times 58,5}{78} \Leftrightarrow \overline{X Y}=39 \mathrm{~cm}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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