Mestre Panda

Dificuldade: díficil

A figura seguinte, à direita, é uma fotografia de uma das torres do Parque Eólico do Douro Sul, em Moimenta da Beira.

A artista plástica Joana Vasconcelos desenhou e pintou o revestimento dessa torre.

A figura da direita, representa um esquema da torre, que é um tronco de cone. O tronco de cone tem bases de diâmetro $[A B]$ e de diâmetro $[C D]$.

Relativamente à figura da direita, sabe-se que:

o cone de vértice $V$, em que $[A B]$ é um diâmetro da base, tem 160 metros de altura;
o cone de vértice $V$, em que $[C D]$ é um diâmetro da base, tem 80 metros de altura;
$\overline{A B}=4 \mathrm{~m}$ e $\overline{C D}=2 \mathrm{~m}$.

O esquema não está desenhado à escala.

Determina o volume do tronco de cone, representado a sombreado na figura da direita.

Apresenta o resultado em metros cúbicos, arredondado às unidades. Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, quatro casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2022, 1ª Fase - Grupo Exercício 865

Resumos

Resolução do Exercício:

Podemos calcular o volume do tronco de cone, como a diferença dos volumes dos cones cujas bases têm diâmetros $[A B]$ e $[C D]$

Assim, calculando o volume dos dois cones, temos que:

a altura do cone cuja base tem diâmetro $[A B]$ é $160 \mathrm{~m}$ e como a base é um círculo cujo diâmetro mede $4 \mathrm{~m}$, a medida do raio da base é $2 \mathrm{~m}$, e assim vem que:

$$V_{C_{[A B]}}=\frac{A_{\circ} \times \text { altura }}{3}=\frac{\pi \times 2^{2} \times 160}{3}=\frac{\pi \times 4 \times 160}{3}=\frac{640 \pi}{3} \mathrm{~m}^{3}$$

a altura do cone cuja base tem diâmetro $[C D]$ é $80 \mathrm{~m}$ e como a base é um círculo cujo diâmetro mede $2 \mathrm{~m}$, a medida do raio da base é $1 \mathrm{~m}$, e assim vem que:

$$V_{C_{[C D]}}=\frac{A_{\circ} \times \text { altura }}{3}=\frac{\pi \times 1^{2} \times 80}{3}=\frac{80 \pi}{3} \mathrm{~m}^{3}$$

E assim temos que o volume do tronco de cone, em metros cúbicos, arredondado às unidades, é:

$$\begin{aligned}& V=V_{C_{[A B]}}-V_{C_{[C D]}}=\frac{640 \pi}{3}-\frac{80 \pi}{3}=\frac{640 \pi-80 \pi}{3}=\frac{560 \pi}{3} \approx 586 \mathrm{~m}^{3} \\end{aligned}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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