Mestre Panda

Dificuldade: média

Em São Torpes, no concelho de Sines, encontra-se uma central termoelétrica com duas chaminés.

A figura da esquerda é uma fotografia dessa central termoelétrica e a figura da direita é uma representação das duas chaminés. A figura da direita não está desenhada à escala.

Na figura da direita, os segmentos de reta $[A P]$ e $[B R]$ correspondem às duas chaminés. O ponto $O$ corresponde a uma posição a partir da qual se observa o topo da chaminé representada por $[A P]$ segundo um ângulo com $55^{\circ}$ de amplitude.

Ambas as chaminés têm 225 metros de altura e a distância entre elas é igual a 132 metros.

Assim, relativamente à figura da direita, sabe-se que:

o ponto $P$ pertence ao segmento de reta $[O R]$
$A \hat{O P}=55^{\circ}$
$\overline{A P}=\overline{B R}=225 \mathrm{~m}$
$\overline{P R}=132 \mathrm{~m}$

Determina a amplitude do ângulo $B O R$.

Sugestão: Começa por determinar $\overline{O P}$.

Apresenta o resultado em graus, arredondado às unidades.

Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2016, 1ª Fase - Grupo Exercício 95

Resumos

Resolução do Exercício:

O triângulo $[A O P]$ é retângulo em $P$. Como, relativamente ao ângulo $A O P$, o lado $[O P]$ é o cateto adjacente e o lado $[A P]$ é o cateto oposto, usando a definição de tangente, temos:

$$\operatorname{tg} A \hat{O P}=\frac{\overline{A P}}{\overline{O P}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 55^{\circ}=\frac{225}{\overline{O P}} \Leftrightarrow \overline{O P}=\frac{225}{\operatorname{tg} 55^{\circ}}$$

Como $\operatorname{tg} 55^{\circ} \approx 1,43$, vem que:

$$\overline{O P} \approx \frac{225}{1,43} \approx 157,34 \mathrm{~m}$$

Como $\overline{O R}=\overline{O P}+\overline{P R}$, vem:

$$\overline{O R} \approx 157,34+132 \approx 289,34 \mathrm{~m}$$

O triângulo $[B O R]$ é retângulo em $R$. Como, relativamente ao ângulo $B O R$, o lado $[O R]$ é o cateto adjacente e o lado $[B R]$ é o cateto oposto, voltando a usar a definição de tangente, temos:

$$\operatorname{tg} B \hat{O} R=\frac{\overline{B R}}{\overline{O R}} \Rightarrow \operatorname{tg} B \hat{O} R \approx \frac{225}{289,34} \Rightarrow \operatorname{tg} B \hat{O} R \approx 0,78$$

Assim, procurando o valor mais próximo de 0,78 na coluna dos valores da tangente na tabela de valores das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo $B O R$ às unidades, temos que

$$B \hat{O} R \approx \operatorname{tg}^{-1}(0,78) \approx 38^{\circ}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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