Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura seguinte, estão representados dois triângulos, $[A B C]$ e $[A B D]$, inscritos numa circunferência.

Sabe-se que:

o triângulo $[A B D]$ é isósceles, sendo $\overline{A D}=\overline{B D}$;
a amplitude do arco $A B$ é $60^{\circ}$;
o ponto $C$ pertence ao arco $B D$;
$C \hat{B} D=20^{\circ}$

A figura não está desenhada à escala.

Determina a amplitude, em graus, do ângulo $A B C$

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2017, 1ª Fase - Grupo Exercício 423

Resumos

Resolução do Exercício:

Como o ângulo $B D A$ é o ângulo inscrito relativo ao arco $A B$, a amplitude do ângulo é metade da amplitude do arco, ou seja:

$$B \hat{D} A=\frac{\overparen{A B}}{2}=\frac{60}{2}=30^{\circ}$$

Como, num triângulo a lados iguais se opõem ângulos com a mesma amplitude e $\overline{A D}=\overline{B D}$ então $D \hat{B} A=B \hat{A} D$, e como a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$, vem que:

$$\begin{gathered}D \hat{B} A+B \hat{A} D+B \hat{D} A=180 \Leftrightarrow D \hat{B} A+D \hat{B} A+30=180 \Leftrightarrow \\Leftrightarrow 2 D \hat{B} A=180-30 \Leftrightarrow D \hat{B} A=\frac{150}{2} \Leftrightarrow D \hat{B} A=75^{\circ}\end{gathered}$$

Desta forma, como $C \hat{B} D=20^{\circ}$, vem que:

$$A \hat{B} C=D \hat{B} A+C \hat{B} D=75+20=95^{\circ}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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