Mestre Panda

Dificuldade: média

Na figura, estão representados uma circunferência de centro no ponto $C$ e os pontos $T, P, A, M$ e $B$

A figura não está desenhada à escala.

Sabe-se que:

os pontos $T, A$ e $B$ pertencem à circunferência;
$M$ é o ponto médio da corda $[A B]$
a reta tangente à circunferência no ponto $T$ intersecta a reta $A B$ no ponto $P$
$\overline{P B}=8$
$\overline{P A}=2$
$\overline{P T}=4$
$\overline{C T}=9,2$

Determina a amplitude do ângulo $B C M$

Na tua resposta, deves:

obter $\overline{B M}$
indicar o valor de $\overline{C B}$
apresentar a amplitude do ângulo $B C M$ em graus, arredondada às unidades.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.
Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2015, 1ª Fase - Grupo Exercício 98

Resumos

Resolução do Exercício:

Como $M$ é o ponto médio da corda $[A B]$, temos que $\overline{A M}=\overline{M B}$, e assim

$$\overline{P B}=\overline{P A}+\overline{A M}+\overline{M B}=\overline{P A}+2 \times \overline{M B}$$

Logo, substituindo os valores conhecidos, vem

$$\overline{P B}=\overline{P A}+2 \times \overline{M B} \Leftrightarrow 8=2+2 \times \overline{M B} \Leftrightarrow 8-2=2 \times \overline{M B} \Leftrightarrow \frac{6}{2}=\overline{M B} \Leftrightarrow 3=\overline{M B}$$

Como $[C B]$ e $[C T]$ são raios da circunferência, vem que

$$\overline{C B}=\overline{C T}=9,2$$

Como o triângulo $[B C A]$ é isósceles, e o ponto $M$ é o ponto médio do lado menor $[A B]$, então $[C M]$ é a altura relativamente ao lado $[A B]$, e por isso o lado $[C M]$ é perpendicular ao lado $[A B]$, ou seja o triângulo $[B C M]$ é retângulo em $M$.

Como, relativamente ao ângulo $B C M$, o lado $[M B]$ é o cateto oposto e o lado $[C B]$ é a hipotenusa, usando a definição de seno, temos:

$$\operatorname{sen}(B \hat{C} M)=\frac{\overline{M B}}{\overline{C B}} \Leftrightarrow \operatorname{sen}(B \hat{C} M)=\frac{3}{9,2}$$

Como $\frac{3}{9,2} \approx 0,326$, procurando o valor mais próximo na coluna dos valores da tangente na tabela de valores das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo $B C M$ às unidades, temos que

$$B \hat{C} M=\operatorname{sen}^{-1}\left(\frac{3}{9,2}\right) \approx 19^{\circ}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

Exercício Anterior

Próximo Exercício

Comentários

Neste momento, não há comentários para este exercício.

Para comentar, por favor inicia sessão ou cria uma conta.

Selecionar Exercício

Resolução do Exercício:

Comentários