Mestre Panda

Dificuldade: média

No Porto de Leixões, existe uma das maiores pontes basculantes do mundo.
No esquema da figura seguinte, está representada a posição, em relação à horizontal, que as duas secções móveis da ponte tinham num certo instante. Nesse esquema, as seç̧ões móveis estão representadas pelos segmentos de reta $[A C]$ e $[E D]$.

Relativamente ao esquema, sabe-se que:

os triângulos $[A B C]$ e $[E F D]$ são retângulos nos vértices $B$ e $F$, respetivamente;
$\overline{A C}=\overline{E D}=46 \mathrm{~m}$;
$B \hat{A C}=D \hat{E} F=35^{\circ}$;
$\overline{A E}=\overline{A C}+\overline{E D}$.

Determina a distância entre os pontos $C$ e $D$, na posição representada no esquema da figura da direita.

Apresenta o resultado em metros, arredondado às unidades. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, duas casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Sugestão: Começa por determinar $\overline{A B}$ ou $\overline{E F}$.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2018, 1ª Fase - Grupo Exercício 89

Resumos

Resolução do Exercício:

Como o ângulo $A B C$ é reto, então o triângulo $[A B C]$ é retângulo em $B$ e, relativamente ao ângulo $B A C$, o lado $[A B]$ é o cateto adjacente e o lado $[A C]$ é a hipotenusa, pelo que, usando a definição de cosseno, temos:

$$\cos B \hat{A} C=\frac{\overline{A B}}{\overline{A C}} \Leftrightarrow \cos 35^{\circ}=\frac{\overline{A B}}{46} \Leftrightarrow \overline{A B}=46 \times \cos 35^{\circ}$$

Como $\cos 35^{\circ} \approx 0,82$, vem que:

$$\overline{A B} \approx 46 \times 0,82 \approx 37,72 \mathrm{~m}$$

Assim, como $\overline{A B}=\overline{E F}$ (porque os triângulos $[A B C]$ e $[D E F]$ são iguais pelo critério LAL), e $\overline{B F}=\overline{C D}$, temos que:

$$\overline{A E}=\overline{A B}+\underbrace{\overline{B F}}_{\overline{C D}}+\underbrace{\overline{E F}}_{\overline{A B}} \Leftrightarrow \overline{A E}=2 \times \overline{A B}+\overline{C D} \Leftrightarrow \overline{A E}-2 \times \overline{A B}=\overline{C D} \Leftrightarrow$$

Logo, como $\overline{A E}=\overline{A C}+\overline{E D}=46+46=92$ metros e $\overline{A B} \approx 37,72$ metros, temos que a distância entre os pontos $C$ e $D$, em metros, arredondado às unidades, é:

$$\overline{C D} \approx 92-2 \times 37,72 \approx 16,56 \approx 17 \mathrm{~m}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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