Mestre Panda

Dificuldade: média

Na figura ao lado, estão representados um paralelepípedo $[A B C D E F G H]$ e uma pirâmide $[H D P C]$, sendo $P$ um ponto de $[A B]$

Admite que:

$\overline{D P}=5 \mathrm{~cm}$
$D \hat{P} H=32^{\circ}$

Determina a área do triângulo $D P H$.

Apresenta o resultado em $\mathrm{cm}^{2}$, arredondado às unidades. Apresenta os cálculos que efetuares.

Nota - Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2011, 1ª Fase - Grupo Exercício 109

Resumos

Resolução do Exercício:

Como o triângulo $[D P H]$ é retângulo em $D$, então o lado $[D P]$ é o cateto adjacente ao ângulo $D P H$ e o lado $[D H]$ é o cateto oposto ao mesmo ângulo, pelo que, usando a definição de tangente de um ângulo, temos:

$$\operatorname{tg}(D \hat{P} H)=\frac{\overline{D H}}{\overline{D P}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 32^{\circ}=\frac{\overline{D H}}{5} \Leftrightarrow 5 \operatorname{tg} 32^{\circ}=\overline{D H}$$

Como $\operatorname{tg} 32^{\circ} \approx 0,625$, vem que: $\overline{D H} \approx 5 \times 0,625 \approx 3,125$

Definindo o lado $[D P]$ como a base e o lado $[D H]$ como a altura (ou vice-versa), a área do triângulo $[D P H]$, em $\mathrm{cm}^{2}$, arredondada às décimas é

$$A_{[D P H]}=\frac{\overline{D P} \times \overline{D H}}{2} \approx \frac{5 \times 3,125}{2} \approx 7,8 \mathrm{~cm}^{2}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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