Mestre Panda

Dificuldade: média

No referencial cartesiano, de origem no ponto $O$, da figura ao lado, estão representadas a função quadrática $f$ e a função de proporcionalidade inversa $g$.

Sabe-se que:

a função $f$ é definida por $f(x)=\frac{4}{3} x^{2}$;
a função $g$ é dada por uma expressão da forma $g(x)=$ $\frac{a}{x}$, com $a>0$ e $x>0$
os gráficos das funções $f$ e $g$ intersectam-se no ponto $P$, de abcissa 3 .

Determina o valor de $a$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2018, 1ª Fase - Grupo Exercício 258

Resumos

Resolução do Exercício:

Como o ponto $P$ tem abcissa 3 e pertence ao gráfico da função $f$, temos que a sua ordenada é a imagem do objeto 3 pela função $f$, ou seja:

$$y_{P}=f(3)=\frac{4}{3} \times 3^{2}=\frac{4}{3} \times 3 \times 3=4 \times 3=12$$

Assim temos que as coordenadas do ponto $P$ são $(3,12)$, e como o ponto $P$ também pertence ao gráfico da função $g$, substituindo as coordenadas na expressão algébrica da função podemos calcular o valor de $a$ :

$$g(3)=12 \Leftrightarrow \frac{a}{3}=12 \Leftrightarrow a=12 \times 3 \Leftrightarrow a=36$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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