Mestre Panda

Dificuldade: díficil

A figura seguinte, à esquerda é uma fotografia de uma garrafa desenhada pelo arquiteto Siza Vieira para promover o consumo de água da torneira, em Lisboa.

Na figura da direita, está representado um modelo geométrico da parte inferior dessa garrafa.

Relativamente à figura da direita, sabe-se que:

$[A B C D I]$ é uma pirâmide reta de base quadrada;
$[A B C D E F G H]$ é um tronco de pirâmide de bases quadradas;
a altura da pirâmide $[A B C D I]$ é $36 \mathrm{~cm}$ e a altura do tronco de pirâmide é $12 \mathrm{~cm}$;
$\overline{A B}=9 \mathrm{~cm}$ e $\overline{F G}=6 \mathrm{~cm}$.

O modelo não está desenhado à escala.

Determina o volume do tronco de pirâmide $[A B C D E F G H]$, representado na figura da direita.

Apresenta o resultado em centímetros cúbicos.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2022, 1ª Fase - Grupo Exercício 866

Resumos

Resolução do Exercício:

Podemos calcular o volume do tronco de pirâmide $[A B C D E F G H]$, como a diferença dos volumes das duas pirâmides $[A B C D I]$ e $[E F G H I]$

Assim, calculando o volume das duas pirâmides, temos que:

a altura da pirâmide $[A B C D I]$ é $36 \mathrm{~cm}$ e como a base é um quadrado de lado $\overline{A B}$, vem que: $A_{[A B C D]}=\overline{A B}^{2}=9^{2}=81 \mathrm{~cm}^{2}$

E desta forma:

$$V_{[A B C D I]}=\frac{1}{3} \times A_{[A B C D]} \times \text { altura }=\frac{1}{3} \times 9^{2} \times 36=\frac{81 \times 36}{3}=972 \mathrm{~cm}^{3}$$

a altura da pirâmide $[E F G H I]$ é a diferença entre a altura da pirâmide $[A B C D I]$ e a distância entre os planos que contêm as bases, ou seja:

$$\text { altura da pirâmide }[E F G H I]=36-12=24 \mathrm{~cm}$$

e como a base é um quadrado de lado $\overline{E F}$, vem que: $A_{[E F G H]}=\overline{E F}^{2}=6^{2}=36 \mathrm{~cm}^{2}$

E desta forma:

$$V_{[E F G H I]}=\frac{1}{3} \times A_{[E F G H]} \times \text { altura }=\frac{1}{3} \times 6^{2} \times 24=\frac{36 \times 24}{3}=288 \mathrm{~cm}^{3}$$

E assim temos que o volume do tronco de pirâmide é:

$$V_{[A B C D E F G H]}=V_{[A B C D I]}-V_{[E F G H I]}=972-288=684 \mathrm{~cm}^{3}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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