Mestre Panda

Dificuldade: díficil

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Relativamente à figura, sabe-se que:

$[A C E G]$ é um quadrado de lado 4 e centro $O$;
os pontos $B, D, F$ e $H$ são os pontos médios dos lados do quadrado $[A C E G]$;
os vértices do quadrado $[A C E G]$ são os centros das circunferências representadas na figura;
o raio de cada uma das circunferências é 2 ;
o ponto $I$ pertence à circunferência de centro no ponto $A$;
o ponto $A$ pertence ao segmento de reta $[I O]$.

Questão:

Determina a área da região sombreada.

Apresenta os cálculos que efetuaste.

Escreve o resultado arredondado às décimas.

Nota - Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2010, 1ª Fase - Grupo Exercício 447

Resumos

Resolução do Exercício:

Como $[A C E G]$ é um quadrado de lado 4 , a sua área é

$$A_{[A C E G]}=4^{2}=16$$

Como as circunferências têm raio lado 2, a área de cada uma é

$$A_{\circ}=\pi \times 2^{2}=\pi \times 4=4 \pi$$

Como os centros das circunferências são os vértices do quadrado, a área de cada uma das circunferências que está no interior do quadrado é $\frac{1}{4}$ do total.

Como são 4 quartos de circunferência que estão no interior do quadrado, a área do quadrado que não está sombreada corresponde a área de uma circunferência, e assim, a área sombreada, $A_{S}$, pode ser calculada como a diferença das áreas do quadrado e de uma circunferência:

$$A_{S}=A_{[A C E G]}-4 \times \frac{1}{4} \times 4 \pi=A_{[A C E G]}-4 \pi=16-4 \pi \approx 3,4$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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