Mestre Panda

Dificuldade: díficil

No transporte marítimo de gás, usam-se, frequentemente, navios com tanques esféricos.

Na figura seguinte, à direita, está representado, em esquema, o casco de um desses navios.

Este esquema é composto pelo paralelepípedo retângulo $[A B C D E F G H]$ e pela pirâmide retangular irregular $[B C H G I]$, cujo vértice $I$ pertence ao plano que contém a face $[C D E H]$ do paralelepípedo retângulo.

Na figura em baixo, está representada a vista de cima de um navio de transporte de gás.

Admite que os quatro tanques esféricos:

têm o mesmo raio e espessura desprezável;
estão colocados num compartimento com a forma de um paralelepípedo retângulo, encostados uns aos outros e às paredes do compartimento, sem que sejam deformados;
têm, cada um, $33750 \mathrm{~m}^{3}$ de volume.

Determina o comprimento do compartimento onde estão colocados os quatro tanques esféricos, designado por $x$ na figura anterior.

Apresenta o valor pedido em metros, arredondado às unidades. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, duas casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2018, 1ª Fase - Grupo Exercício 871

Resumos

Resolução do Exercício:

Recorrendo à fórmula do volume da esfera podemos calcular o raio, $r$, de cada tanque esférico:

$$V_{\text {Esfera }}=\frac{4}{3} \pi r^{3} \Leftrightarrow 33750=\frac{4}{3} \pi r^{3} \Leftrightarrow \frac{33750 \times 3}{4 \pi}=r^{3} \Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{33750 \times 3}{4 \pi}}=r \Rightarrow r \approx 20,05 \mathrm{~m}$$

Como os quatro tanques esféricos estão encostados sem serem deformados, o valor de $x$ corresponde a quatro diâmetros dos tanques, ou seja a $2 \times 4=8$ raios, pelo que o valor de $x$ em metros, arredondado às unidades, é:

$$x=8 r \approx 8 \times 20,05 \approx 160,4 \approx 160 \mathrm{~m}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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