Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura seguinte, estão representados o triângulo escaleno $[L M N]$, as semirretas $\dot{M} O$ e $\dot{N} O$, bissetrizes dos ângulos $L M N$ e $M N L$, respetivamente, e a circunferência inscrita no triângulo $L M N$.

Sabe-se que:

a reta $M N$ é tangente à circunferência no ponto $P$;
o ponto $Q$ é a intersecção do segmento de reta $[M O]$ com a circunferência.

Admite que $\overline{O P}=\sqrt{3}$ e que $\overline{P N}=3$.

Determina o valor exato de $\overline{O N}$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2016, 1ª Fase - Grupo Exercício 781

Resumos

Resolução do Exercício:

O triângulo $[O P N]$ é retângulo em $P$ (porque o raio $[O P]$ da circunferência é perpendicular à reta tangente em $P$, que contém o lado $[P N]$ do triângulo).

Assim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, temos que:

$$\overline{O N}^{2}=\overline{O P}^{2}+\overline{P N}^{2} \Leftrightarrow \overline{O N}^{2}=(\sqrt{3})^{2}+3^{2} \Leftrightarrow \overline{O N}^{2}=3+9 \Leftrightarrow \overline{O N}^{2}=12 \underset{O N>0}{\Rightarrow} \overline{O N}=\sqrt{12}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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