Mestre Panda

Dificuldade: média

Na figura seguinte, apresenta-se o esquema de uma estrutura de três pisos onde serão montadas duas escadas rolantes, uma entre o rés do chão e o $1 .^{\circ}$ andar e outra entre o $1 .^{\circ}$ andar e o $2 .^{\circ}$ andar.

Sabe-se que:

$\overline{A D}=23 \mathrm{~m}$
$\overline{B C}=12 \mathrm{~m}$
$\overline{A B}=\overline{C D}$
$B \hat{A} H=E \hat{G} F=30^{\circ}$

A figura não está desenhada à escala.

Determina $\overline{D F}$, ou seja, determina a distância da superfície do rés do chão à superfície do $2 .^{\circ}$ andar.

Apresenta o valor pedido em metros, arredondado às centésimas.

Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva pelo menos três casas decimais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2017, 1ª Fase - Grupo Exercício 93

Resumos

Resolução do Exercício:

Como os triângulos $[A B H]$ e $[G E F]$ são ambos retângulos, $\overline{A B}=\overline{C D}$ e $B \hat{A} H=E \hat{G} F$, pelo critério ALA os triângulos são congruentes e, por isso $\overline{B H}=\overline{E F}$
Temos ainda que:

$$\overline{A B}+\overline{B C}+\overline{C D}=\overline{A D} \Leftrightarrow 2 \overline{A B}+\overline{B C}=\overline{A D} \Leftrightarrow 2 \overline{A B}=\overline{A D}-\overline{B C} \Leftrightarrow \overline{A B}=\frac{\overline{A D}-\overline{B C}}{2}$$

Assim, como $\overline{A B}=\overline{G E}$, temos que:

$$\overline{G E}=\overline{A B}=\frac{23-12}{2}=\frac{11}{2}=5,5 \mathrm{~m}$$

Como, relativamente ao ângulo $E G F$, o lado $[G E]$ é o cateto adjacente e o lado $[F E]$ é o cateto oposto, usando a definição de tangente, temos:

$$\operatorname{tg} E \hat{G} F=\frac{\overline{F E}}{\overline{G E}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 30^{\circ}=\frac{\overline{F E}}{5,5} \Leftrightarrow \overline{F E}=\operatorname{tg} 30^{\circ} \times 5,5$$

Como $\operatorname{tg} 30^{\circ} \approx 0,577$, vem que:

$$\overline{F E} \approx 0,577 \times 5,5 \approx 3,174 \mathrm{~m}$$

Como $\overline{F D}=\overline{F E}+\overline{E D}=2 \overline{F E}$, então a distância da superfície do rés do chão à superfície do $2 .{ }^{\circ}$ andar, arredondada às centésimas, é:

$$\overline{F D} \approx 2 \times 3,174 \approx 6,35 \mathrm{~m}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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