Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura seguinte, estão representados os cinco primeiros termos de uma sequência de conjuntos de círculos que segue a lei de formação sugerida.

Os dois primeiros termos são formados só por círculos pretos. Os restantes são formados por círculos pretos e círculos brancos.

Existe um termo desta sequência que tem um número total de círculos igual à soma dos cem primeiros números naturais.

Quantos círculos pretos tem esse termo?

Mostra como chegaste à tua resposta.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2012, 1ª Fase - Grupo Exercício 969

Resumos

Resolução do Exercício:

Para obter o termo de ordem $n$ adicionam-se exatamente $n$ círculos ao termo anterior (como se pode ver na figura).

Assim, como o primeiro termo tem 1 círculo, então o termo de ordem 100 tem um número total de círculos igual à soma dos cem primeiros números naturais.

Como a linha superior do termo de ordem 100 tem 100 círculos, podemos verificar que a linha mais exterior do lado direito também terá 100 círculos (pretos), tal como a linha exterior da esquerda.

Lembrando que o círculo situado mais abaixo, pertence a ambas as linhas de círculos pretos, o número de círculos pretos do termo de ordem 100 é

$$100+100-1=199$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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