Mestre Panda

Dificuldade: díficil

A figura seguinte, à esquerda, é uma fotografia de um barco rabelo, atualmente usado para transportar turistas na travessia do rio Douro.

A figura da direita representa um modelo geométrico, em tamanho reduzido, da parte coberta desse barco.

O modelo representado na figura da direita é um sólido que pode ser decomposto no cubo $[B C D E K L M N]$ e no paralelepípedo retângulo $[A B E F G H I J]$. O modelo não está desenhado à escala.

Sabe-se ainda que:

o ponto $I$ pertence ao segmento de reta $[B L]$ e $\overline{B I}=\frac{1}{3} \overline{B L}$
$\overline{A B}=2 \overline{B C}$
o volume total do sólido é $25 \mathrm{~cm}^{3}$

Seja $a$ a medida, em centímetros, da aresta do cubo.

Determina o valor exato de $a$

Mostra como chegaste à tua resposta.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2012, 1ª Fase - Grupo Exercício 893

Resumos

Resolução do Exercício:

Temos que $[B C]$ é uma aresta do cubo $[B C D E K L M N]$, pelo que o respetivo volume é

$$V_{[B C D E K L M N]}=\overline{B C}^{3}=a^{3}$$

Por outro lado, como $\overline{A B}=2 \overline{B C}=2 a$, como $[B E]$ também é uma aresta do cubo $\overline{B E}=a$ e ainda como $[B L]$ também é uma aresta do cubo $\overline{B I}=\frac{1}{3} \overline{B L}=\frac{1}{3} \times a=\frac{a}{3}$, vem que o volume do paralelepípedo $[A B E F G H I J]$ é

$$V_{[A B E F G H I J]}=\overline{A B} \times \overline{B E} \times \overline{B I}=2 a \times a \times \frac{a}{3}=\frac{2 a^{3}}{3}$$

Logo, como o volume total do sólido, $V_{T}$, é a soma dos volumes do cubo e do paralelepípedo temos que

$$V_{T}= a^{3} + \frac{2a^{3}}{3}=\frac{a^{3}}{1}_{(3)}+\frac{2a^{3}}{3}=\frac{3a^{3}}{3}+\frac{2a^{3}}{3}=\frac{5a^{3}}{3}$$

Igualando a expressão do volume total ao seu valor numérico (25), e resolvendo a equação, podemos determinar o valor exato de $a$ :

$$\frac{5 a^{3}}{3}=25 \Leftrightarrow 5 a^{3}=25 \times 3 \Leftrightarrow a^{3}=\frac{75}{5} \Leftrightarrow a^{3}=15 \Leftrightarrow a=\sqrt[3]{15}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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