Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura seguinte, estão representados os triângulos $[A B C]$ e $[A E D]$.

Fixada uma unidade de medida, sabe-se que:

o ponto $E$ pertence ao lado $[A B]$ e o ponto $D$ pertence ao lado $[A C]$;
o triângulo $[A B C]$ é retângulo em $B$;
o triângulo $[A E D]$ é retângulo em $E$;
$\overline{A E}=4$ e $\overline{D E}=3$;
a área do quadrilátero $[B C D E]$ é 48 .

A figura não está desenhada à escala.

Calcula $\overline{B C}$.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2023, 1ª Fase - Grupo 7 Exercício 10

Resumos

Resolução do Exercício:

Temos que:

a área do triângulo $[A E D]$ é: $A_{[A E D]}=\frac{\overline{A E} \times \overline{E D}}{2}=\frac{4 \times 3}{2}=6$;
a área do triângulo $[A B C]$ é: $A_{[A B C]}=A_{[B C D E]}+A_{[A E D]}=48+6=54$

Como os triângulos $[A B C]$ e $[A E D]$ são semelhantes pelo critério $\mathrm{AA}$ (os ângulos $B A C$ e $E A D$ coincidem e ambos os triângulos têm um ângulo reto) e a razão das áreas de figuras semelhantes é o quadrado da razão de semelhança, $r$, temos que:

$$r^{2}=\frac{A_{[A B C]}}{A_{[A E D]}} \Leftrightarrow r^{2}=\frac{54}{6} \Leftrightarrow r^{2}=9 \underset{r>0}{\Rightarrow} r=\sqrt{9} \Leftrightarrow r=3$$

Assim, como $[B C]$ e $[E D]$ são lados correspondentes de triângulos semelhantes de razão 3, temos que:

$$\frac{\overline{B C}}{\overline{E D}}=r \Leftrightarrow \frac{\overline{B C}}{3}=3 \Leftrightarrow \overline{B C}=3 \times 3 \Leftrightarrow \overline{B C}=9$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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Comentários

Tomás Garcia

Criado em 22/05/2025 14:35

Muito dificil

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