Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura seguinte, está representada uma semicircunferência de diâmetro $\overline{A C}$

Sabe-se que:

o ponto $B$ pertence à semicircunferência e o ponto $D$ pertence a $[A C]$
os segmentos de reta $[B D]$ e $[A C]$ são perpendiculares
o raio da semicircunferência é igual a $5 \mathrm{~cm}$
$\overline{B D}=4 \mathrm{~cm}$

Determina a área da região representada a sombreado.

Apresenta o resultado $\mathrm{em}^{2}$, arredondado às décimas. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2015, 1ª Fase - Grupo Exercício 884

Resumos

Resolução do Exercício:

Tendo em conta os dados do enunciado podemos calcular $A_{S C}$, a área do semicírculo, como

$$A_{S C}=\frac{\pi r^{2}}{2}=\frac{\pi \times 5^{2}}{2}=\frac{25 \pi}{2} \mathrm{~cm}^{2}$$

Podemos igualmente calcular $A_{[A B C]}$, a área do triângulo $[A B C]$, observando que a medida da base é o dobro do raio $(\overline{A C}=2 \times r=2 \times 5=10 \mathrm{~cm})$, pelo que

$$A_{[A B C]}=\frac{\overline{A C} \times \overline{B D}}{2}=\frac{10 \times 4}{2}=\frac{40}{2}=20 \mathrm{~cm}^{2}$$

E assim, $A_{S}$, a área sombreada é a diferença das áreas do semicírculo e do triângulo $[A B C]$, pelo que, fazendo os cálculos e arredondando o resultado às décimas, vem:

$$A_{S}=A_{S C}-A_{[A B C]}=\frac{25 \pi}{2}-20 \approx 19,3 \mathrm{~cm}^{2}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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