Mestre Panda

Dificuldade: média

Na figura seguinte, está representada uma circunferência de centro no ponto $O$

Os pontos $A, B, C, P$ e $R$ pertencem à circunferência.

Sabe-se que:

a circunferência tem raio 8
$\overline{B A}=\overline{B C}$
$[P R]$ é um diâmetro da circunferência;
o ponto $Q$ é o ponto de intersecção dos segmentos $[B A]$ e $[P R]$
o ponto $S$ é o ponto de intersecção dos segmentos $[B C]$ e $[P R]$
$A \hat{B} O=36^{\circ}$

Determina a área da região representada a sombreado.

Apresenta o resultado arredondado às unidades.

Apresenta os cálculos que efetuares.

Nota - Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2011, 1ª Fase - Grupo Exercício 110

Resumos

Resolução do Exercício:

Como o triângulo $[O Q B]$ é retângulo em $O$, então o lado $[B O]$ é o cateto adjacente ao ângulo $O B Q$ e o lado $[O Q]$ é o cateto oposto ao mesmo ângulo, pelo que, usando a definição de tangente de um ângulo, e como $\overline{B O}=8$ temos:

$$\operatorname{tg}(O \hat{B} Q)=\frac{\overline{O Q}}{\overline{B O}} \Leftrightarrow \operatorname{tg} 36^{\circ}=\frac{\overline{O Q}}{8} \Leftrightarrow 8 \operatorname{tg} 36^{\circ}=\overline{O Q}$$

Como $\operatorname{tg} 36^{\circ} \approx 0,73$, vem que: $\overline{D H} \approx 8 \times 0,73 \approx 5,84$

Definindo o lado $[O Q]$ como a base e o lado $[B O]$ como a altura (ou vice-versa), a área do triângulo $[B O Q]$ é

$$A_{[B O Q]}=\frac{\overline{O Q} \times \overline{B O}}{2} \approx \frac{5,84 \times 8}{2} \approx 23,36$$

E assim, a área do triângulo $[B S Q]$ é

$$A_{[B S Q]}=2 \times A_{[B O Q]} \approx 2 \times 23,36 \approx 46,72$$

Determinando a área $A$ do semicírculo, parcialmente sombreado, cujo raio $(r)$ é 8 , temos

$$A=\frac{\pi r^{2}}{2}=\frac{\pi \times 8^{2}}{2}=\frac{64 \pi}{2}=32 \pi$$

Finalmente podemos obter o valor da área sombreada $\left(A_{S}\right)$, arredondada às unidades, como a diferença da área do semicírculo e a área do triângulo $[B S Q]$ :

$$A_{S}=A-A_{[B S Q]} \approx 32 \pi-46,72 \approx 54$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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