Mestre Panda

Dificuldade: díficil

O quadrilátero $[A B C D]$, representado na figura seguinte, é um trapézio retângulo.

Sabe-se que:

$\overline{A D}=3$
$\overline{A B}=4$
$\overline{B C}=5$

O ponto $P$ desloca-se ao longo do segmento de reta $[A B]$. Para cada posição do ponto $P$, tem-se $\overline{P B}=x$

Para um certo valor de $x$, os triângulos $[D A P]$ e $[C B P]$ são semelhantes, sendo $[A D]$ e $[B C]$ lados correspondentes.

Determina esse valor de $x$

Mostra como chegaste à tua resposta.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2013, 1ª Fase - Grupo Exercício 1049

Resumos

Resolução do Exercício:

Para que os triângulos sejam semelhantes, a razão entre lados correspondentes deve ser igual, ou seja,

$$\frac{\overline{B C}}{\overline{A D}}=\frac{\overline{B P}}{\overline{A P}}$$

([BC] e $[A D]$ são lados correspondentes, e os lados $[C P]$ e $[D P]$ também o são, porque são os lados que se opõem ao ângulo reto em cada triângulo, ou seja, os restantes lados em cada um dos triângulos também são semelhantes - os lados $B P]$ e $[A P])$.

Como $\overline{A B}=\overline{A P}+\overline{P B}$, temos que $4=\overline{A P}+x \Leftrightarrow \overline{A P}=4-x$

Assim, substituindo na relação de proporcionalidade estabelecida, e resolvendo a equação, vem:

$$\frac{5}{3}=\frac{x}{4-x} \Leftrightarrow 5(4-x)=3 x \Leftrightarrow 20-5 x=3 x \Leftrightarrow 20=3 x+5 x \Leftrightarrow 20=8 x \Leftrightarrow$$$$ \Leftrightarrow \frac{20}{8}=x \Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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