Mestre Panda

Dificuldade: média

Na figura seguinte, está representada uma circunferência.

Sabe-se que:

$[A C]$ é um diâmetro de comprimento 15.
$B$ é um ponto da circunferência.
$\overline{A B}=12$

Calcula a área da região sombreada da figura ao lado.

Apresenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades.

Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2009, 1ª Fase - Grupo Exercício 803

Resumos

Resolução do Exercício:

Como o lado $[A C]$ do triângulo é um diâmetro da circunferência e o vértice $B$ pertence à mesma circunferência, então o triângulo $[A B C]$ é retângulo e o lado $[A C]$ é a hipotenusa.

Assim, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, e substituindo os valores dados, vem que:

$$\begin{gathered}\overline{A C}^{2}=\overline{A B}^{2}+\overline{B C}^{2} \Leftrightarrow 15^{2}=12^{2}+\overline{B C}^{2} \Leftrightarrow 225=144+\overline{B C}^{2} \Leftrightarrow 225-144=\overline{B C}^{2} \Leftrightarrow \\Leftrightarrow 81=\overline{B C}^{2}\underset{B C>0} {\Rightarrow} \sqrt{81}=\overline{B C} \Leftrightarrow 9=\overline{B C}\end{gathered}$$

Como os lados $[A B]$ e $[B C]$ do triângulo são perpendiculares, se considerarmos um deles como a base, o outro será a altura, e assim temos que a área do triângulo é

$$A_{[A B C]}=\frac{\overline{A B} \times \overline{B C}}{2}=\frac{12 \times 9}{2}=\frac{108}{2}=54$$

Como $[A C]$ é um diâmetro da circunferência, então o raio é $r=\frac{\overline{A C}}{2}=\frac{15}{2}=7,5$, e a área do círculo é

$$A_{\circ}=\pi \times r^{2}=\pi \times 7,5^{2}=56,25 \pi$$

A área da região sombreada, $A_{S}$, pode sr calculada como a diferença da área do círculo e da área do triângulo, pelo que calculando a área da região sombreada e escrevendo o resultado arredondado às unidades, temos

$$A_{S}=A_{\circ}-A_{[A B C]}=56,25 \pi-54 \approx 123$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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