Mestre Panda

Dificuldade: média

Na figura seguinte, os vértices do quadrado $[I J K L]$ são os pontos médios das semidiagonais do quadrado $[A B E F]$.

A interseção das diagonais dos dois quadrados é o ponto $O$. Os lados $[C D]$ e $[H G]$ do retângulo $[H C D G]$ são paralelos aos lados $[B E]$ e $[A F]$ do quadrado $[A B E F]$ e $[C D]$ mede o triplo de $[B C]$.

Sabendo que a medida da área do quadrado $[A B E F]$ é 64 , calcula a medida do comprimento do segmento de recta $[O B]$.

Na tua resposta, escreve o resultado arredondado às décimas.

Apresenta os cálculos que efectuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2008, 1ª Fase - Grupo Exercício 807

Resumos

Resolução do Exercício:

Como a medida da área do quadrado $[A B E F]$ é 64 , podemos calcular a medida do lado:

$$\overline{A B}=\sqrt{64}=8$$

Como $[A B E F]$ é um quadrado, então o triângulo $[A B F]$ é retângulo em $B$ e $\overline{A B}=\overline{A F}$, pelo que, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, podemos calcular a mediada do lado $[B F]$ :

$$\overline{B F}^{2}=\overline{A B}^{2}+\overline{A F}^{2} \Leftrightarrow \overline{B F}^{2}=8^{2}+8^{2} \Leftrightarrow \overline{B C}^{2}=64+64 \Leftrightarrow \overline{B C}^{2}=128 \underset{B F>0}{\Rightarrow} \overline{B F}=\sqrt{128}$$

Como as diagonais de um quadrado se bissetam mutuamente, podemos calcular a medida do comprimento do segmento de reta $[O B]$ e escrever o resultado arredondado às décimas:

$$\overline{O B}=\frac{\overline{B F}}{2}=\frac{\sqrt{128}}{2} \approx 5,7$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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