Mestre Panda

Dificuldade: díficil

A figura seguinte é uma fotografia de um obelisco de granito maciço, obra do escultor vimaranense Dinis Ribeiro, que foi construído para homenagear a comunidade educativa da freguesia de Ponte, em Guimarães.

Na figura da direita, está representado um modelo geométrico do obelisco. Este modelo é constituído por um prisma quadrangular reto $[A B C D E F G H]$ e por um tronco de pirâmide $[I J K L M N O P]$ de bases quadradas.

Sabe-se que:

o prisma $[A B C D E F G H]$ tem bases quadradas com 1,4 metros de aresta e tem 1,8 metros de altura;
o tronco de pirâmide $[I J K L M N O P]$ tem 4,5 metros de altura e é o tronco de uma pirâmide reta com 18 metros de altura;
$\overline{N O}=0,9 \mathrm{~m} ;$
$\overline{I J}=1,2 \mathrm{~m}$.

O modelo geométrico não está desenhado à escala.

Determina o volume do obelisco cujo modelo geométrico está representado na figura mais à direita.

Apresenta o resultado em metros cúbicos, arredondado às unidades. Nos cálculos intermédios não deves proceder a arredondamentos.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2021, 1ª Fase - Grupo Exercício 867

Resumos

Resolução do Exercício:

O volume do obelisco representado $\left(V_{O}\right)$, pode ser obtido pela soma dos volumes do paralelepípedo $\left(V_{[A B C D E F G H]}\right)$ e do tronco de pirâmide $\left(V_{[I J K L M N O P]}\right)$; e o volume do tronco de pirâmide $\left(V_{[I J K L M N O P]}\right)$, pode ser obtido pela diferença entre o volume da pirâmide $\left(V_{P}\right)$ e da parte da pirâmide que não pertence ao obelisco - que também é uma pirâmide $\left(V_{p}\right)$.

Assim, determinando estes volumes, temos:

Volume do prisma:

$V_{[A B C D E F G H]}=1,4 \times 1,4 \times 1,8=3,528 \mathrm{~m}^{3}$

Volume da pirâmide com 18 metros de altura:

$V_{P}=\frac{\overline{I J}^{2} \times 18}{3}=\frac{1,2^{2} \times 18}{3}=8,64 \mathrm{~m}^{3}$

Volume da pirâmide que não pertence ao obelisco, cuja altura é a diferença entre a altura da pirâmide maior e a altura do obelisco, ou seja, $18-4,5=13,5$ metros:

$V_{p}=\frac{\overline{N O}^{2} \times 13,5}{3}=\frac{0,9^{2} \times 13,5}{3}=3,645 \mathrm{~m}^{3}$

Volume do obelisco:

$V_{O}=V_{[A B C D E F G H]}+V_{[A B C D E F G H]}=V_{[A B C D E F G H]}+V_{P}-V_{p}=$

$=3,528+8,64-3,645=8,523 \mathrm{~m}^{3}$

Assim, o volume do obelisco em metros cúbicos, arredondado às unidades, é $9 \mathrm{~m}^{3}$.

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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