Mestre Panda

Dificuldade: média

Na figura ao lado, estão representados, num referencial cartesiano, parte do gráfico de uma função quadrática $f$ e o triângulo $[O A B]$

Sabe-se que:

o ponto $O$ é a origem do referencial
o ponto $A$ pertence ao gráfico da função $f$ e tem abcissa igual a 2
o ponto $B$ pertence ao eixo das ordenadas
o triângulo $[O A B]$ é retângulo em $B$
a função $f$ é definida por $f(x)=a x^{2}$, sendo $a$ um número positivo

Admite que a área do triângulo $[O A B]$ é igual a 32

Determina o valor de $a$

Mostra como chegaste à tua resposta.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2013, 1ª Fase - Grupo Exercício 142

Resumos

Resolução do Exercício:

Como o triângulo $[O A B]$ é retângulo em $B$, a sua área é igual a 32 e $\overline{B A}=2$, podemos calcular $\overline{B O}$ :

$$A_{[O A B]}=\frac{\overline{B A} \times \overline{B O}}{2} \Leftrightarrow 32=\frac{\overline{B O} \times 2}{2} \Leftrightarrow 32=\overline{B O}$$

Como as ordenadas dos pontos $A$ e $B$ são iguais, temos que as coordenadas do ponto $A$ são $A(2,32)$. Como o ponto $A$ pertence ao gráfico de $f$ e a função $f$ é definida por $f(x)=a x^{2}$, substituindo as coordenadas do ponto $A$ na expressão da função $f$, podemos determinar o valor de $a$ :

$$32=a \times(2)^{2} \Leftrightarrow 32=a \times 4 \Leftrightarrow \frac{32}{4}=a \Leftrightarrow 8=a$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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