Mestre Panda

Dificuldade: díficil

Na figura, está representado o sólido $[A B C D I J G H]$, que se pode decompor num prisma reto de bases quadradas e num prisma triangular reto.

Uma das faces laterais do prisma triangular coincide com uma das bases do prisma quadrangular.

Este sólido não está desenhado à escala.

Determina o volume do sólido $[A B C D I J G H]$, supondo que:

$$\overline{A B}=8 \mathrm{~cm} ; \quad \overline{A F}=4 \mathrm{~cm} \quad \text { e } \quad \overline{F J}=7 \mathrm{~cm}$$

Apresenta o resultado em $\mathrm{~cm}^{3}$. Apresenta os cálculos que efetuares.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2011, 1ª Fase - Grupo Exercício 895

Resumos

Resolução do Exercício:

O volume do sólido $[A B C D I J G H]$ pode ser obtido pela soma dos volumes do prisma de bases quadradas $[A B C D E F G H]$ e do prisma triangular $[E F G H I J]$ :

$$V_{[A B C D I J G H]}=V_{[A B C D E F G H]}+V_{[E F G H I J]}$$

Como $[A B C D]$ é um quadrado, então $\overline{B C}=\overline{A B}=8 \mathrm{~cm}$, e $\overline{A F}=4 \mathrm{~cm}$, pelo que o volume do prisma é

$$V_{[A B C D E F G H]}=\overline{B C} \times \overline{A B} \times \overline{A F}=8 \times 8 \times 4=256 \mathrm{~cm}^{3}$$

Calculando a área da base do prisma triângular, por exemplo, a área do triângulo $[F G J]$, como $\overline{F G}=$ $\overline{A B}=8 \mathrm{~cm}$ e $\overline{F J}=7 \mathrm{~cm}$, a área da base é

$$A_{[F G J]}=\frac{\overline{F G} \times \overline{F J}}{2}=\frac{8 \times 7}{2}=\frac{56}{2}=28 \mathrm{~cm}^{2}$$

E assim, como $\overline{F E}=\overline{B C}=\overline{A B}=8 \mathrm{~cm}$, o volume do prisma triângular é

$$V_{[E F G H I]}=A_{[F G J]} \times \overline{F E}=28 \times 8=224 \mathrm{~cm}^{3}$$

E, somando os volumes dos dois prismas, temos o volume do sólido:

$$V_{[A B C D I J G H]}=V_{[A B C D E F G H]}+V_{[E F G H I J]}=256+224=480 \mathrm{~cm}^{3}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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