Mestre Panda

Dificuldade: média

Na figura seguinte, está representada uma semicircunferência de diâmetro $[A B]$.

Sabe-se que:

pontos $C$ e $D$ pertencem à semicircunferência;
o ponto $E$ é o ponto de intersecção dos segmentos de reta $[A C]$ e $[B D]$
$A \hat{E} D=70^{\circ}$.

Determina a amplitude do arco $D C$.

Mostra como chegaste à tua resposta.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2016, 1ª Fase - Grupo Exercício 425

Resumos

Resolução do Exercício:

Como o ângulo $B D A$ é reto (porque está inscrito numa semicircunferência), então temos que:

$$B \hat{D} A=E \hat{D} A=90^{\circ}$$

Assim, podemos determinar a amplitude do ângulo $D A C$ (porque a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$ :

$$D \hat{A} C+A \hat{E} D+E \hat{D} A=180 \Leftrightarrow D \hat{A} C+70+90=180 \Leftrightarrow D \hat{A} C=180-90-70 \Leftrightarrow D \hat{A} C=20^{\circ}$$

Assim, como o ângulo $D A C$ é o ângulo inscrito relativo ao arco $D C$, a amplitude do arco é o dobro da amplitude do ângulo. ou seja:

$$\overparen{D C}=2 \times D \hat{A C} \Leftrightarrow \overparen{D C}=2 \times 20 \Leftrightarrow \overparen{D C}=40^{\circ}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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