Mestre Panda

Dificuldade: média

Na praia do parque de campismo existem barracas como as da fotografia seguinte. Ao lado da fotografia está um esquema da estrutura de uma dessas barracas.

No esquema:

$[A B C D E F G H]$ é um prisma quadrangular regular;
$[E F G H I]$ é uma pirâmide quadrangular regular;
$[I K]$ é a altura da pirâmide $[E F G H I]$
$[I J]$ é a altura do triângulo $[E F I]$

As medidas de comprimento indicadas estão expressas em metro (m).

Sabe-se que $\overline{I J}=1 \mathrm{~m}$

De acordo com o esquema, determina o volume da barraca de praia.

Apresenta todos os cálculos que efetuares e, na tua resposta, indica a unidade de volume.

Fonte: Exame Matemática 3º Ciclo - 2008, 1ª Fase - Grupo Exercício 913

Resumos

Resolução do Exercício:

Começamos por determinar a altura da pirâmide $[E F G H I]$, verificando que o triângulo $[J K I]$ é retângulo em $K$, pelo que, recorrendo ao Teorema de Pitágoras, podemos afirmar que:

$$\overline{I K}^{2}+\overline{K J}^{2}=\overline{I J}^{2}$$

Como $\overline{K J}=\frac{\overline{A D}}{2}=\frac{1,2}{2}=0,6 \mathrm{~m}$, substituindo os valores conhecidos na equação anterior, vem que:

$$\overline{I K}^{2}+0,6^{2}=1^{2} \Leftrightarrow \overline{I K}^{2}+0,36=1 \Leftrightarrow \overline{I K}^{2}=1-0,36 \Leftrightarrow \overline{I K}^{2}=0,64 \underset{\overline{I K}>0}{\Rightarrow} \overline{I K}=\sqrt{0,64}$$

Assim temos que $\overline{I K}=0,8$

Podemos agora determinar o volume da pirâmide:

$$V_{[E F G H I]}=\frac{1}{3} \times A_{[E F G H]} \times \overline{I K}=\frac{1}{3} \times 1,2^{2} \times 0,8=0,384 \mathrm{~m}^{3}$$

Determinando o volume do prisma, vem que:

$$V_{[A B C D E F G H]}=\overline{D A} \times \overline{A B} \times \overline{D H}=1,2 \times 1,2 \times 1,7=2,448 \mathrm{~m}^{3}$$

Logo, podemos determinar o volume total do sólido, $V_{T}$, como a soma dos volumes do pirâmide e do prisma:

$$V_{T}=V_{[E F G H I]}+V_{[A B C D E F G H]}=0,384+2,448=2,832 \mathrm{~m}^{3}$$

Fonte: Matemática? Absolutamente!

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